Question

已知棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁及其三视图尺寸如图所示，P、Q分别为B′B，CB的中点．
（1）填写棱台各顶点字母，并证明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求BC与平面A′ADD′所成的角的正切值．

Answer 1

解：（1）字母如图所示

…（2分）
∵梯形AA′D′D、AA′B′B、A′B′C′D′、ABCD均为直角梯形
且A′B′=DC=AB=8，2D′C′=A′B′=DC
连接B′C，PD，则PQ∥B′C，A′B′CD为矩形
∴B′C∥A′D
∴PQ∥A′D
又∵PQ?平面AA′D′D，A′D?平面AA′D′D
∴PQ∥平面AA′D′D…（6分）
（2）取AB中点M，连接DM，则DM∥CD
∴BC与平面AA′D′D所成角等于DM与平面AA′D′D所成角
∵MA⊥面AA′D′D，
∴DM在平面AA′D′D的射影为DA
∴∠MDA为直线DM与磁面AA′D′D所成的角． …（9分）
∵AM=DC=8，AD=10
∴tan∠MDA=
即BC与平面AA′D′D所成的角的正切为…（12分）
分析：（1）由已知中几何体中的三视图，我们易得到函数的直观图，及各棱的长，进而判断出A′B′CD为矩形，进而得到PQ∥A′D，由线面平行的判定定理，即可得到PQ∥平面AA′D′D；
（2）取AB中点M，连接DM，BC与平面AA′D′D所成角等于DM与平面AA′D′D所成角，即∠MDA为直线DM与磁面AA′D′D所成的角，解三角形MDA即可得到BC与平面A′ADD′所成的角的正切值．
点评：本题考查的知识点是三视图，直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中根据已知中的三视图判断出该几何体的形状和各棱的长度和平行及垂直关系，是解答本题的关键．