Question

已知p：（x-2）（x+m）≤0，q：x²+（1-m）x-m≤0．
（1）若m=3，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若m=3，根据命题“p且q”为真，则p，q同时为真，即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：（1）若m=3，则p：（x-2）（x+3）≤0，即-3≤x≤2，
q：x²-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，
若命题“p且q”为真，则p，q同时为真，
则

-3≤x≤2 -1≤x≤3

，解得-1≤x≤2．
 （2）∵x²+（1-m）x-m≤0，
∴（x+1）（x-m）≤0，
则不等式对应的方程的根为x=-1，或x=m，
不等式（x-2）（x+m）≤0，对应的方程的根为x=2，或x=-m，
若p是q的必要不充分条件，
设p对应的集合为A，q对应的集合是B，
则满足B?A，
若m≥-1，则集合B=[-1，m]，此时-m≤2，即A=[-m，2]，
此时满足

m≤2 -m≤-1

，解得1≤m≤2，
若m＜-1，则集合B=[m，-1]，此时-m＞1，
此时A∩B=∅，不满足条件，
故实数m的取值范围是1≤m≤2．．

点评：本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．