Question

(本题满分14分)

已知点及圆：.

（Ⅰ）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（Ⅱ）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；

（Ⅲ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线 垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或;（Ⅱ）.（Ⅲ）不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）圆C的圆心为，半径，                          1分

设直线的斜率为（存在）则方程为.

由 ，解得.                                   3分

所以直线方程为，即 .                    4分

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.            5分

（Ⅱ）由于，而弦心距，                7分

所以.所以为的中点.

故以为直径的圆的方程为.                      9分

（Ⅲ）把直线即．代入圆的方程，

消去，整理得．

由于直线交圆于两点，

故，即，解得．            11分

则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以的斜率，而，所以．             13分

由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．           14分

考点：本题考查了直线与圆的位置关系

点评：直线和圆的位置关系时除了用代数的方法外，还常常用到圆的几何性质，属基础