Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=9，其前n项和为S_n，对n∈N^*，n≥2，都有S_n=3（S_n-1+3）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；  
（Ⅱ）求证：数列{S_n+$\frac{9}{2}$}是等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+1=3a_n．从而{a_n}是公比为3，首项为9的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出S_n=-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$-3ⁿ，从而${S}_{n}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$•3ⁿ=$\frac{27}{2}•{3}^{n-1}$，由此能证明数列{${S}_{n}+\frac{9}{2}$}是以$\frac{27}{2}$为首项，公比为3的等比数列．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3（S_n-1+3），∴S_n+1=3（S_n+3），
∴a_n+1=3a_n．故{a_n}是公比为3，首项为9的等比数列，
∴a_n=3ⁿ⁺¹．---（5分）
证明：（Ⅱ）因为${a}_{n}=9•{3}^{n-1}$，所以S_n=$\frac{9（1-{3}^{n}）}{1-3}$=-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$-3ⁿ，（7分）
所以，${S}_{n}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$•3ⁿ=$\frac{27}{2}•{3}^{n-1}$，（9分）
${S}_{1}+\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}•3$=$\frac{27}{2}$，$\frac{{S}_{n+1}+\frac{9}{2}}{{S}_{n}+\frac{9}{2}}$=$\frac{\frac{27}{2}•{3}^{n}}{\frac{27}{2}•{3}^{n-1}}$=3．（10分）
故，数列{${S}_{n}+\frac{9}{2}$}是以$\frac{27}{2}$为首项，公比为3的等比数列．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．