Question

试证：当n为正整数时，f(n)=3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.

Answer 1

证明略

解析:

证明  方法一  （1）当n=1时，f(1)=3⁴-8-9=64,

命题显然成立.

（2）假设当n=k (k≥1,k∈N^*)时，

f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.

由于3^2(k+1)+2-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+64(k+1)

即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)

∴n=k+1时命题也成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N^*，命题都成立.

方法二  （1）当n=1时，f(1)=3⁴-8-9=64，命题显然成立.

（2）假设当n=k (k≥1,k∈N^*)时，f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.

由归纳假设，设3^2k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将3^2k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得

f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),

∴n=k+1时命题成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N^*,命题都成立.