Question

（2012•闸北区一模）关于x的不等式log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0（a＞b＞0）的解集为

(log

a

b

(

2

-1)，+∞)

．

Answer 1

分析：要使log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0，必须a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0．推导出（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）后，再由a＞b＞0，从而求出原不等式的解集．

解答：解：要使log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0，必须a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0
∵b^2x＞0
∴（

a

b

）^2x+2（

a

b

）^x-1＞0
∴（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）
∵a、b∈R⁺，∴

a

b

＞0．
当a＞b＞0时有

a

b

＞1时，即a＞b＞0时，x＞log

a

b

（

2

-1）．
故解集为：x＞log

a

b

（

2

-1）．
故答案为：(log

a

b

(

2

-1)，+∞)．

点评：本题是对数函数的单调性与特殊点，解题要根据对数函数的性质进行合理转化，考查转化思想．