Question

2．已知函数f（x）=ax²-2x+2，当x∈[1，4]时总有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得，只要$\frac{a}{2}$＞$\frac{x-1}{{x}^{2}}$在[1，4]的最大值，由g（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，配方即可得到最大值，进而求得a的范围．

解答 解：当x∈[1，4]时总有f（x）＞0，即为
$\frac{a}{2}$＞$\frac{x-1}{{x}^{2}}$的最大值，
由g（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
由1≤x≤4，可得$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$≤1，
当$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$，即x=2时，g（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{a}{2}$＞$\frac{1}{4}$，解得a＞$\frac{1}{2}$，
则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．