Question

（本小题满分14分）

已知在［-1，0］和［0，2］上有相反的单调性.

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）若的图象上在两点、处的切线都与y轴垂直，且函数f(x)在区间［m，n］上存在零点，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）若函数f(x)在［0，2］和［4，5］上有相反的单调性，在f(x)的图象上是否存在一点M，使得f(x)在点M的切线斜率为2b？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）c=0

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在这样点M，坐标为（2，-10）

【解析】解：（Ⅰ）………………………………1分

由在［-1，0］和［0，2］上有相反的单调性，

知x=0是的一个极值点. ………………………………………………2分

，得c=0. ………………………………………………………………3分

（Ⅱ）令，得

……………………………………………………4分

的图象上在两点、处的切线都与y轴垂直，

为的极值点. ………………………………………………………5分

则……………………………………………………………6分

又

若在［0，］上存在零点.

则…………………………………………………………7分

………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），知由

得

在［0，2］和［4，5］上有相反的单调性，

在［0，2］和［4，5］上有相反的符号，……………………………………9分

即…………………………………………………………………………10分

假设存在点使得在M处切线斜率为2b,

则即……………………………………………11分

………………………………………………………12分

当

由

故存在这样点M，坐标为（2，-10）. ………………………………………………14分