Question

【题目】在中，，且，若以为左右焦点的椭圆经过点.

（1）求的标准方程；

（2）设过右焦点且斜率为的动直线与相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据余弦定理以及三角形面积公式得，再根据椭圆定义得，最后根据，求得b,（2）先设点的坐标表示，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，最后根据等式恒成立条件求定点以及定值.

试题解析：（1）在中，由余弦定理

.

又，∴，

代入上式得，即椭圆长轴，焦距，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线方程，联立，

得，，

设交点，，∴，.

假设轴上存在定点，使得为定值，

∴

要使为定值，则的值与无关，∴，

解得，此时为定值，定点为.