【题目】已知各项都是正数的数列的前
项和为
,且
,数列
满足
,
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设数列满足
,求和
;
(3)是否存在正整数,
,
,使得
,
,
成等差数列?若存在,求出所有满足要求的
,
,
,若不存在,说明理由.
【答案】(1),
;(2)
;(3)存在
或
,
,
满足要求.
【解析】试题分析:
(1)由递推关系可得,则
,
是等差数列,其中公差为1,且
,通项公式为
,数列
是等比数列,其中首项为
,公比为
,故
.
(2)结合(1)的结论可得,则
,
(3)假设存在正整数,使得
成等差数列,则
,
而数列从第二项起单调递减,分类讨论:
当时,
,若
,无解;若
,
符合要求,若
,无解; 故
,此时
,可得
,
.
试题解析:
(1)①,
②,
②-①得:,即
,
因为是正数数列,所以
,即
,
所以是等差数列,其中公差为1,
在中,令
,得
,
所以,
由得
,
所以数列是等比数列,其中首项为
,公比为
,
所以.
(2),裂项得
,
所以,
(3)假设存在正整数,使得
成等差数列,则
,即
,
因为,所以数列
从第二项起单调递减,
当时,
,
若,则
,此时无解;
若,则
,因为
从第二项起递减,故
,所以
符合要求,
若,则
,即
,不符合要求,此时无解;
当时,一定有
,否则若
,则
,即
,矛盾,
所以,此时
,令
,则
,所以
,
,
综上得:存在或
,
,
满足要求.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知椭圆的离心率为
,圆
与
轴交于点
,
为椭圆
上的动点,
,
面积最大值为
.
(I)求圆与椭圆
的方程;
(II)圆的切线
交椭圆于点
,求
的取值范围.
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【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差
;
(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“
级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“
级”的用户所占的百分比是多少?(精确到
)
参考数据:.
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【题目】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过
的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
(2)为了改良玉米品种,现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出株,再从这
株玉米中选取
株进行杂交实验,选取的植株均为矮茎的概率是多少?
(,其中
)
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【题目】某组织在某市征集志愿者参加志愿活动,现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况,具体数据如图所示.
(1)根据条件完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关?
愿意 | 不愿意 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者,再从中抽取2人作为队长,求抽取的2人至少有一名女生的概率.
参考数据及公式:
.
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【题目】某中学随机选取了名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,观察图中数据,完成下列问题.
()求
的值及样本中男生身高在
(单位:
)的人数.
()假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生的平均身高.
()在样本中,从身高在
和
(单位:
)内的男生中任选两人,求这两人的身高都不低于
的概率.
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【题目】已知,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是
,则点M的轨迹C的方程是___________.若点
为轨迹C的焦点,
是直线
上的一点,
是直线
与轨迹
的一个交点,且
,则
_____.
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【题目】在中,
,且
,若以
为左右焦点的椭圆
经过点
.
(1)求的标准方程;
(2)设过右焦点且斜率为
的动直线与
相交于
两点,探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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