Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=mt\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，直线l过曲线C的左焦点F．
（1）直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|；
（2）设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C与直线联立，利用参数的几何意义，求|AB|；
（2）设矩形的第一象限的顶点为$（{2cosθ，sinθ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，所以$c=4（{2cosθ+sinθ}）=4\sqrt{5}sin（{θ+φ}）$，即可求c的最大值．

解答 解：（1）曲线$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，∴$F（{-\sqrt{3}，0}）$，曲线C与直线联立得$13{t^2}-2\sqrt{3}t-1=0$，方程两根为t₁，t₂，则$AB=2|{{t_1}-{t_2}}|=\frac{16}{13}$．
（2）设矩形的第一象限的顶点为$（{2cosθ，sinθ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，所以$c=4（{2cosθ+sinθ}）=4\sqrt{5}sin（{θ+φ}）$，
所以当sin（θ+φ）=1时，c最大值为$4\sqrt{5}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．