Question

某工厂用72万元钱购买了一台新机器，每年的保险费、油费合计为7.5万元，另外，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元．
（I）设前n年的维修保养总费用为S_n万元，求S_n的表达式；
（Ⅱ）截止到第n年，这台机器的总费用是多少？
（Ⅲ）这台机器的最佳使用年限（年平均费用最小）是多少？

Answer 1

分析：（I）由题知，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元，可得前n年每年的保养费是一个首项为2，公差为1的等差数列，由求和公式求和即可；
（II）总费用包括购买费用及每年的保险费、油费合计为7.5万元及每年的保养费用，三者相加即可得到总费用；
（III）得出各年平均费用的表达式，计算其取得最小值时的n即可得出答案

解答：解：（I）由题意，每年的保养费是一个首项为2，公差为1的等差数列，可得Sn=2+3+…+(n+1)=

n(n+3)

2

；（2分）
（II）总费用为72+7.5n+

n2+3n

2

=

n2+18n+144

2

（万元）
答：截止到第n年，这台机器的总费用是

n2+18n+144

2

万元；（4分）
（III）设这台机器前n年的年平均费用为f（n）万元，f(n)=

n2+18n+144

2n

=(

n

2

+

72

n

)+9≥21，当且仅当

n

2

=

72

n

时等号成立．
即n=12时等号成立．
答：这台机器的最佳使用年限是12年．（8分）

点评：本题考查函数最值的应用及等差数列的应用，此类题通过审题理解其中的关系是解答的关键，此类题综合性较强，注意转化思想的运用