Question

如图1-6，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，且BD=2，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）求点D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：（1）通过证明AD⊥平面BDC，利用平面与平面垂直的判断定理证明平面ADB⊥平面BDC；
（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，直接利用向量的数量积，求点D到平面ABC的距离．

解答：解：（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC．…（6分）
（2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，由在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，
AD是BC上的高，且BD=2，
则D（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2

3

），C（0，4，0）…（7分）
设平面ABC的法向量为

n

=(x0，y0，z0)，
由

AB

=(2，0，-2

3

)，

BC

=(-2，4，0)，
有

BC • n =0 AB • n =0

，

2x0-2 3 z0=0 -2x0+4y0=0

，
取x0=2

3

，有

z0=2 y0= 3

，得

n

=(2

3

，

3

，2)，又

DB

=(2，0，0)…（10分）
点D到平面ABC的距离是d═|

DB • n

| n |

|=

4 57

19

…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直平面与平面垂直的判断，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．