Question

（2012•广州一模）如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=

6

，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明△PBC为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质，证明PD⊥平面ABC，再计算△ABC的面积，即可求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证法1：计算出BC，PB，PC，利用BC²+PB²=PC²，可得结论；
证法2：利用线面垂直的判定证明BC⊥平面PBD，从而BC⊥PB．

解答：（1）解：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（2分）
记AC边上的中点为E，
在△ABC中，因为AB=BC，所以BE⊥AC．
因为AB=BC=

6

，AC=4，
所以BE=

BC2-CE2

=

( 6 )2-22

=

2

．…（4分）
所以△ABC的面积S△ABC=

1

2

×AC×BE=2

2

．…（5分）
因为PD=2，所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PD=

1

3

×2

2

×2=

4 2

3

．…（7分）
（2）证法1：因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．
因为PD=2，CD=3，所以PC=

PD2+CD2

=

22+32

=

13

．…（9分）
连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，所以PD⊥BD．
在Rt△PBD中，因为∠PDB=90°，PD=2，BD=

3

，
所以PB=

PD2+BD2

=

22+( 3 )2

=

7

．…（12分）
在△PBC中，因为BC=

6

，PB=

7

，PC=

13

，
所以BC²+PB²=PC²．…（13分）
所以△PBC为直角三角形．…（14分）
证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（8分）
在△BCD中，CD=3，BC=

6

，BD=

3

，
所以BC²+BD²=CD²，所以BC⊥BD．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，
因为BC?平面ABC，所以BC⊥PD．
因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．…（12分）
因为PB?平面PBD，所以BC⊥PB．
所以△PBC为直角三角形．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．