Question

设x∈R，f(x)=(

1

2

)|x|．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f(x)=(

1

2

)|x|=

( 1 2 )x x≥0 2x x＜0

，可作出图象；或者先做出x≥0时的函数图象，再根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，作出x＜0的图象．
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））_min≤k对于任意的x∈R恒成立即可，
将f（x）的解析式代入，利用换元法转化为二次函数求最值即可．

解答：解：（1）如图

（2）f(x)=(

1

2

)|x|，f(2x)=(

1

2

)2|x|
对于任意x∈R，(

1

2

)|x|+(

1

2

)2|x|≤k恒成立．
令(

1

2

)|x|=t∈(0， 1]，则y=t²+t（0＜t≤1）
对称轴t=-

1

2

，则当t=1时，y_max=2，
所以k≥2即可．

点评：本题考查含有绝对值的函数的图象的做法和不等式恒成立为题，题目难度不大，属基本题型，基本方法的考查．