Question

下列几个命题：
①函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数；
②“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
④若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

．
其中正确的有

②④

．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义，判断出函数y=

x2-1

+

1-x2

的奇偶性，可判断①；根据二次函数的图象和性质，分析二次不等式恒成立的充要条件，可判断②；根据函数对称变换法则，求出函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称图象对应的解析式，可判断③；根据余弦函数的奇偶性，求出φ值，可判断④；根据正弦函数的图象和性质，结合对勾函数的图象和性质，可判断⑤

解答：解：函数y=

x2-1

+

1-x2

的定义域A={-1，1}，当x∈A时，函数f（x）=0恒成立，故f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）均成立，则函数即是奇函数，又是偶函数，故①错误；
“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”，故②正确；
函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称图象对应的解析式为y=f（1+x），故③错误；
若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则cosφ=0，故φ=

π

2

+kπ（k∈Z），故④正确；
令t=sinx，则x∈（0，π）时，t∈（0，1]，则y=t+

2

t

，由y=t+

2

t

，在区间（0，1]为减函数，故当t=1时，函数取最小值3，故⑤错误
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称变换，单调性等知识点，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．