Question

已知经过原点的直线l平分抛物线f（x）=x²-6x与x轴所围封闭区域的面积．
（I）求抛物线f（x）与x轴所围成封闭区域的面积S；
（II）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）若用定积分求面积，需求出自变量的取值区间，再用定积分列出面积公式．
（2）首先求出直线l与抛物线的交点坐标，即此时的自变量的取值区间，在已知面积的情况下列出相应的面积公式．

解答：解（1）由f（x）=0得x=0或x=6，
所以S=-

∫

6 0

(x2-6x)dx=

1

3

x3-3x2

|

6 0

=36．
（II）设直线l：y=kx，由

y=kx y=x2-6x

得x²-（k+6）x=0，所以x=0或x=6+k．
因为直线l平分抛物线f（x）=x²-6x与x轴所围封闭区域的面积，
所以

∫

k+6 0

[kx-(x2-6x)]dx
=

∫

k+6 0

[-x2+(k+6)x]dx=-

1

3

x3+

k+6

2

x2

|

k+6 0

=-

1

3

(k+6)3+

1

2

(k+6)3=18，
解得k=3

3	4

-6，
所以直线l的方程为y=(3

3	4

-6)x．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，此题比较新颖，有一定的代表性，在求定积分时，要明确自变量的区间．