Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象关于直线x=

2π

3

对称，它的周期是π，则（　　）

• A、f（x）的图象过点（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）的图象在[

  5π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上递减
• C、f（x）的最大值为A
• D、f（x）的一个对称中心是点（

  5π

  12

  ，0）

Answer 1

分析：由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=

2π

3

对称，可得sin（∅+

2π

3

）=±1，代入可得∅=

π

6

，根据三角函数的性质逐个检验选项．

解答：解：T=π，∴ω=2．
∵图象关于直线x=

2π

3

对称，
sin（φ+

2π

3

×2）=±1
即

2π

3

×2+φ=

π

2

+kπ，k∈Z
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

∴f（x）=Asin（2x+

π

6

）．再用检验法逐项验证．
故选D

点评：本题考查了三角函数的性质：周期公式T=

2π

ω

的应用；三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值．