Question

【题目】设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+ ）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，f（x）= sin2x﹣

= sin2x﹣

=sin2x﹣

由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；

由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；

所以f（x）的单调递增区间是[k ，k ]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k ，k ]，（k∈Z）；

（2）解：由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA= ，

由题意知A为锐角，所以cosA= ，

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，

可得：1+ bc=b2+c2≥2bc，即bc ，且当b=c时等号成立．

因此S= bcsinA≤ ，

所以△ABC面积的最大值为

【解析】（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣ ，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得单调递减区间．（2）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且当b=c时等号成立，从而可求 bcsinA≤ ，从而得解．