Question

已知抛物线C：y²＝2px(p>0)，M点的坐标为(12,8)，N点在抛物线C上，且满足＝，O为坐标原点．

(1)求抛物线C的方程；
(2)以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为1，并且l₁与抛物线C交于A，B两点，l₂与抛物线C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为G，H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）(10,0)

∵＝，点M的坐标为(12,8)，可得点N的坐标为(9,6)，∴6²＝18p，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y²＝4x.
(2)证明:由条件可知，直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，设l₁：y＝k(x－12)＋8，则l₂的方程为y＝(x－12)＋8，由得ky²－4y＋32－48k＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝，又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－24)＋16，∴x₁＋x₂＝－＋24，∴点G的坐标为，用代替k，得到点H坐标为(2k²－8k＋12,2k)，∴k_GH＝
∴l_GH：y－2k＝ [x－(2k²－8k＋12)]．
令y＝0，则x＝10，所以直线GH过定点(10,0)