Question

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=

q3

3

-3q2+20q+10(q＞0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：

市场情形	概率	价格p与产量q的函数关系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-3q

设L₁，L₂，L₃分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξ_q，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（Ⅰ）分别求利润L₁，L₂，L₃与产量q的函数关系式；
（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξ_q，试问产量q取何值时，Eξ_q取得最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意可以写出利润L₁，L₂，L₃与产量q的函数关系式，整理合并同类项得到关于q的三次函数，写出自变量q的取值范围．
（Ⅱ）写出期望的表示式，根据多项式的四则运算，写出最简形式，利用函数的导数求函数的最值，对函数求导，令导数等于0，解出q的值，确定这是函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意写出
L1=(164-3q)•q-(

q3

3

-3q2+20q+10)
=-

q3

3

+144q-10(q＞0)．
同理可得L2=-

q3

3

+81q-10(q＞0)．
L3=-

q3

3

+50q-10(q＞0)．
（Ⅱ）由期望定义可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
=0.4*(-

q3

3

+144q-10)+0.4*(-

q3

3

+81q-10)+0.28*(-

q3

3

+50q-10)
=-

q3

3

+100q-10．
可知Eξ_q是产量q的函数，设f(q)=Eξq=-

q3

3

+100q-10(q＞0)，
得f′（q）=-q²+100．令f′（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大时的产量为10．

点评：本题主要考查离散型随机变量的数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力，是一个综合题目．