Question

如图，F₁、F₂分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

Answer 1

解：（I） 由F₁（-1，0）得c=1，∴A点坐标为（a²，0）；…（2分）
∵，∴F₂是AF₁的中点，∴a²=3，b²=2
∴椭圆方程为…（5分）
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；…（6分）
当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：y=k（x+1）（k≠0），
联立代入消去y得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则…（8分）
∴，同理
∴四边形PMQN面积…（10分）
令，则，则S是以u为变量的增函数
所以当k=±1，u=2时，，∴
综上可知，，∴四边形PMQN面积的取值范围为…（13分）
分析：（I） 先确定A点坐标为（a²，0），利用，可得F₂是AF₁的中点，由此可求椭圆方程；
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，直线方程与椭圆方程联立，正确表示四边形的面积是关键．