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设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和f(
19
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
分析:(I)对于任意的x,y∈(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y),令x=y=1,x=y=3,即可求得f(1)、f(
1
9
)的值;且当x>1时,f(x)<0,根据函数单调性的定义讨论函数的单调性.
(II)f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)],根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式,解不等式即可求得结果.
解答:解:(I)∵函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,
对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,
得f(
1
9
)=2.
(II)设0<x1<x2<+∞,由条件(1)可得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
),
x2
x1
>1,由(2)知f(
x2
x1
)<0,
所以f(x2)<f(x1),
即f(x)在R+上是递减的函数.
由条件(1)及(I)的结果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
),
由函数f(x)在R+上的递减性,得:
x>0
2-x>0
x(2-x)>
1
9

由此解得x的范围是(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
点评:考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题,对于解决抽象函数的一般采用赋值法,求某些点的函数值和证明不等式等,体现了转化的思想.
练习册系列答案
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设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x3,则下列四个命题:
①f(x)是以4为周期的周期函数.
②f(x)在[1,3]上的解析式为f (x)=(2-x)3
③f(x)在(
3
2
,f(
3
2
))
处的切线方程为3x+4y-5=0.
④f(x)的图象的对称轴中,有x=±1,其中正确的命题是(  )
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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(1)求证:f(
xy
)=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列五个命题:
①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;
②当x∈[1,3]时,f(x)=( x-2)3
③直线x=±1是函数y=f(x)图象的对称轴;
④点(2,0)是函数y=f(x)图象的对称中心;
⑤函数y=f(x)在点(
3
2
,f(
3
2
))处的切线方程为3x-y-5=0.
其中正确的是
①③
①③
.(写出所有正确命题的序号)

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