Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短轴端点与双曲线

y2

2

-x2=1的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范围；
（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由已知椭圆的离心率得到a，b的关系，结合双曲线的焦点坐标求得椭圆的短半轴，结合隐含条件得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，把

OA

•

OB

代入根与系数关系化为含有k的代数式，由k的范围求得

OA

•

OB

的取值范围；
（Ⅲ）求出B点关于x轴的对称点的坐标，写出直线AE的方程，求得与x轴的交点的横坐标，代入（Ⅰ）的根与系数关系得答案．

解答： （Ⅰ）解：由题意知，e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，即

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，
又双曲线的焦点坐标为(0，±

3

)，
∴b=

3

，代入①得a=2．
∴故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得：k2＜

1

4

，即-

1

2

＜k＜

1

2

．
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
则x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

  ①，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)•x₁x₂-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k²•

32k2

4k2+3

+16k²=25-

87

4k2+3

，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)，
∴

OA

•

OB

的取值范围是[-4，

13

4

)；
（Ⅲ）证明：∵B，E关于x轴对称，
∴点E的坐标为（x₂，-y₂），
直线AE的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

kx1(x2-4)+kx2(x1-4)

k(x1+x2-8)

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．
把①式代入得x=

2• 64k2-12 3+4k2 -4• 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=

-24 3+4k2

-24 3+4k2

=1．
∴直线与x轴相交于定点（1，0）．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．