Question

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0 的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（0，2）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 利用导数求得$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为减函数，它在（-∞，0）上也是减函数，且f（-2）=0，再由不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0可得x的范围．

解答 解：由于当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，故[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
故$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为减函数．
根据f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，可得它在（-∞，0）上是减函数，且f（-2）=0，
故由不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0可得x＜-2，或0＜x＜2，
故选：C．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．