【题目】设函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)证明:若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
【答案】(1)递减区间是,递增区间是
,极小值
;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)令,再列表可得:递减区间是
,递增区间是
,极小值
;(2)由(1)知,
.由
存在零点
,当
时,
在区间
上单调递减,且
是
在区间
上的唯一零点;当
时,
在区间
上单调递减,且
在区间
上仅有一个零点,综上可知,若
存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
试题解析:(1)由得
,
由解得
与
在区间
上的情况如下:
- | + | ||
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
在
处取得极小值
.
(2)由(1)知,在区间
上的最小值为
.
因为存在零点,所以
,从而
,
当时,
在区间
上单调递减,且
,
所以是
在区间
上的唯一零点.
当时,
在区间
上单调递减,且
.
所以在区间
上仅有一个零点,
综上可知,若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
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【题目】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为,求
的分布列及
.( 结果用分数表示)
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【题目】某科研机构研发了某种高新科技产品,现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元,从实验的第一天起连续实验,第天的实验需投入实验费用为
元
,实验30天共投入实验费用17700元.
(1)求的值及平均每天耗资最少时实验的天数;
(2)现有某知名企业对该项实验进行赞助,实验天共赞助
元
.为了保证产品质量,至少需进行50天实验,若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验,求
的取值范围.(实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费)
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【题目】学校为了了解高一新生男生得到体能状况,从高一新生中抽取若干名男生进行铅球测试,把所得数据(精确到0.1米)进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如下图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.
(1)请将频率分布直方图补充完整;
(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人?
(3)若成绩在8.0米以上(含8.0米)的为合格,试求这次铅球测试的成绩的合格率.
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【题目】已知动圆过点,且被
轴截得的线段长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)问: 轴上是否存在一定点
,使得对于曲线
上的任意两点
和
,当
时,恒有
与
的面积之比等于
?若存在,则求
点的坐标,否则说明理由.
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【题目】记表示
中的最大值,如
,已知函数
.
(1)求函数在
上的值域;
(2)试探讨是否存在实数, 使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;
若不存在,说明理由.
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