Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（I）知PA⊥面ABCD，则可证CD⊥面PAD，由此可得∠CED为直线CE与面PAD所成的角，通过解三角形可得直线CE与平面PAD所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，
∴PA⊥平面ABCD-------（6分）
（Ⅱ）解：因为CD⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即为ED，
即∠CED为直线CE与面PAD所成的角，
∵PD=

2

，E为PD上一点，PE=2ED．
∴ED=

2

3

，
又∵CD=1，
∴tan∠CED=

3 2

2

，
∴所以sin∠CED=

1

1+( 2 3 )2

=

3 11

11

．
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为

3 11

11

．-------（12分）

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是创设判定定理成立的条件，是中档题．