Question

已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为　     　.

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上。

设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a

又∵|BF|=|AF′|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα   ……②

|BF|=2ccosα    ……③

将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a

∴，即，

∵，

∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为。

考点：本题主要考查椭圆的定义及其几何性质，两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质。

点评：中档题，本题利用椭圆的定义及直角三角形中的边角关系，确定得到了椭圆离心率的表达式，根据角的范围确定离心率的范围，该题综合性较强，也较为典型。