Question

如图，已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y²＝2mx(m＞0)于A、B两点，若A、B满足∠AQP＝∠BQP，其中Q点坐标为(－4，0)，原点O为PQ的中点．

(1)证明A、P、B三点共线．

(2)当m＝2时，是否存在垂直于x轴的直线，使得被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设A()，B()． 　　∵∠AQP＝∠BQP，tan∠AQP＝tan∠BQP， 　　∴． 　　∴y1y2(y1＋y2)＝－8m(y1＋y2)． 　　∵l不垂直于x轴，∴y1y2＝－8m． 　　∵O点是PQ的中点，且Q(－4，0)， 　　∴P(4，0)． 　　又kAP＝， 　　∴kAP＝kBP．∴A、B、P共线． 　　(2)设存在满足条件，设其方程为x＝n． 　　设A(x1，y1)，则y12＝4x1． 　　∵以AP为直径的圆的圆心C()， 　　∴直线被圆截得的弦长为 　　． 　　∴当n＝3时，弦长为定值． 　　∴存在直线x＝3满足要求．