Question

已知某精密仪器生产总成本C（单位：万元）与月产量x（单位：台）的函数关系为C=100+4x，月最高产量为15台，出厂单价p（单位：万元）与月产量x的函数关系为：p=76+15x-x²．
（1）求月利润L与产量x的函数关系式L（x）；
（2）求月产量x为何值时，月利润L（x）最大？

Answer 1

分析：（1）月利润函数L（x）=出厂单价p×月产量x-成本C，代入数据计算即可；
（2）由（1）知，利润函数L（x）是x的三次函数，对L（x）求导，令L'（x）=0，解得x的值，得出L（x）取最大值以及对应x的值．

解答：解：（1）月利润函数为：L（x）=px-C=（76+15x-x²）x-（100+4x）=-x³+15x²+72x-100，
其中0＜x≤15．
（2）因为利润函数L（x）是x的三次函数，对L（x）求导，得
L′（x）=-3x²+30x+72=-3（x+2）（x-12）；
令L'（x）=0，解得x=12，或x=-2（舍去），
当x∈（0，12）时，L'（x）＞0；当x∈（12，15]时，L'（x）＜0；
因此，当x=12时，L（x）取最大值；
所以，月产量为12台时，月利润L（x）最大，最大月利润为L（12）万元．

点评：本题以实际问题为载体，考查了三次函数模型的应用，求三次函数在某一区间上的最值问题时，通常用求导法．