Question

（2012•邯郸一模）已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1+a5=

1

3

a32，S₇=56．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得2a3=

1

3

a32，可求a₃，利用等差数列的求和公式及性质可求a₄，则d=a₄-a₃，从而可求通项
（Ⅱ）由已知可得b_n+1-b_n=2（n+1），利用叠加法可求b_n，然后利用裂项相消法可求数列的和

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列且a1+a5=

1

3

a32，
∴2a3=

1

3

a32，
又∵a_n＞0∴a₃=6．…（2分）
∵S7=

7(a1+a7)

2

=7a4=56∴a4=8，…（4分）
∴d=a₄-a₃=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
当n=1时，b₁=2满足上式，b_n=n（n+1）
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．        …（12分）

点评：本题主要考查了等差 数列与等比数列的综合运算，等差数列的求和公式及性质、通项公式的灵活应用是求解的关键．