Question

已知两条曲线f（x）=e^x，g（x）=lnx，
（Ⅰ）求过曲线f（x）=e^x上的点（a，e^a）的切线l的方程；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的切线l与曲线g（x）=lnx也相切，求证：a的值在-2＜a＜-1与1＜a＜2范围中的一个。

Answer 1

解：（Ⅰ）已知f（x）=e^x，则f'（x）=e^x，
∴曲线f（x）=e^x在点（a，e^a）处的切线斜率k=e^a，
∴所求切线l的方程为y-e^a=e^a（x-a），即y=e^ax+e⁴-ae^a； ①
（Ⅱ）切线l与曲线g（x）=lnx相切，设切点为（x₁，lnx₁），
又g′（x）=，
同理曲线g（x）=lnx在点（x₁，lnx₁）处的切线方程为，
即
由①②得
由③④得e^a-ae^a=-a-1，⑤
令F（a）=ae^a-e^a-a-1，a∈R，
所以F′（a）=e^a+ae^a-e^a-1=ae^a-1，
当a≤0时，F'（a）＜0，又a＞0时，F'（a）单调递增，F'（1）＞0，
由零根定理知在区间（0，1）之间有一个根α，使F'（a）=0，

其中0＜α＜1，
，
由a为F（a）=0的一个解，
∴a的值是（-2，-1）与（1，2）范围的一个。