Question

已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）（文科做）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．
（理科做）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意可知：C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等，可知点P的轨迹是抛物线（去掉顶点）．
（2））（文科）设点P（x，y），满足y²=4x，则点P到直线x+2y+5=0的距离|PQ|=

|x+2y+5|

5

=

| y2 4 +2y+5|

5

=

(y+4)2+4

4 5

，利用二次函数的单调性即可得出；
（理科）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设l的方程为x=ty+m，与抛物线方程联立可得关于y的一元二次方程，可知△＞0，即根与系数的关系，由

FA

•

FB

＜0利用数量积运算并结合根与系数的关系可得m²-6m+1＜4t²．进而求得m的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意可知：C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等，点P的轨迹是抛物线（去掉顶点）．
可得曲线C的方程为y²=4x（x＞0）．
（2）（文科）设点P（x，y），满足y²=4x，
则点P到直线x+2y+5=0的距离|PQ|=

|x+2y+5|

5

=

| y2 4 +2y+5|

5

=

(y+4)2+4

4 5

≥

4

4 5

=

5

5

，
当y=-4时最小，即|PQ|最小值为

5

5

．
（理科）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=ty+m，
由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，且

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∵

FA

•

FB

＜0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

y2

4

，②式可化为

y 2 1

4

•

y 2 2

4

-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+1+y1y2＜0
即

(y1y2)2

16

-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1+y1y2＜0
将①代入上式，得m²-6m+1＜4t²．
∵对任意实数t上式成立，
∴m²-6m+1＜（4t²）_min，而（4t²）_min=0．
即m²-6m+1＜0
∴3-2

2

＜m＜3+2

2

．
∴存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范围(3-2

2

，3+2

2

)．

点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．