Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上任意一点到点F₁（2，0）的距离减去它到y轴距离的差都是2．
（1）求曲线C的方程；
（2）若双曲线M：x²-

y2

t

=1（t＞0）的一个焦点为F₁，另一个焦点为₂，过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为

n

=（k，-1）（k＞0），且

OA

•

OB

=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据条件建立C的轨迹方程，然后求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程，联立直线与双曲线，利用

OA

•

OB

=0，求出参数k 的值．

解答：解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，…1分
那么点P（x，y）满足

(x-2)2+y2

-x=2，x＞0…3分
化简，得y²=8x，（x＞0），即为曲线C的方程．…4分（或者利用抛物线的定义也可以）
（2）双曲线M一个焦点坐标为（2，0），所以1+t=4，即k=3…5分
所以双曲线M的方程为：x2-

y2

3

=1．…6分
设直线l的方程为y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2- y2 3 =1

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0  …7分
所以

x1+x2=- 4k2 3-k2 x1x2=- 4k2+3 3-k2

…8分
由

OA

•

OB

=0得x₁x₂+y₁y₂=0 …9分
即(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0
代入化简，并解得k=±

3 5

=±

15

5

（舍去负值），所以k=

15

5

 …10分．

点评：本题主要考查了抛物线的方程，直线与双曲线的位置关系的应用，利用直线和双曲线联立，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．