Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点M（-1，0）的直线与曲线C有两个交点A，B，且FA⊥FB，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，由题意列出符合条件的关系式，整理后即可得到曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程x=ty-1，同时设出两个交点的坐标，把直线方程和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，得到根与系数关系，由FA⊥FB，得到它们对应的向量的数量积等于0，代入向量坐标后整理成仅含有两交点纵坐标的和与积的形式，代入根与系数后求解t的值，验证判别式大于0成立，由此可求出直线l的斜率．

解答：解：（1）设p（x，y）是曲线C上任意一点，
因为C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
所以点p（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)．
化简得：y²=4x（x＞0）；
（2）设直线与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线l的方程为x=ty-1
由

x=ty-1 y2=4x

，得y²-4ty+4=0，
得

y1+y2=4t y1y2=4

①
由FA⊥FB，得

FA

•

FB

=0
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)
所以

FA

•

FB

=0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又x=

y2

4

，于是（2）等价于

y12

4

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1=0．

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1=0③
把①式代入③，整理得4t²=8，t=±

2

．
满足△=16（t²-1）＞0．
∴直线l的斜率为±

2

2

．

点评：本题考查了与直线有关的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，此类问题的解决经常用到直线与曲线联立方程后的根与系数关系，该题中对直线l的设法对解答该题有着事半功倍的作用，避免了讨论直线斜率不存在的情况，是中高档题．