Question

（2011•临沂一模）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，且与曲线C相交于A、B两点的直线，且|

.

OP

|=1，问：是否存在上述直线l使

.

AP

•

.

PB

=1成立？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是曲线C上任意一点，那么点M（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，由此能求出曲线C的方程．
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．假设使

AP

•

PB

=1成立的直线l存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|

OA

|=1．得m²=k²+1．由此能导出存在两条直线l满足条件，其方程为：y=

15

15

x-

4 15

15

，y=

15

15

x+

4 15

15

．②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，2），B（1，-2符合题意的直线l有两条：y=

15

15

x-

4 15

15

+y=-

15

15

x+

4 15

15

．

解答：解：（1）设M（x，y）是曲线C上任意一点，
那么点M（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，
化简，得y²=4x（x＞0）．…（3分）
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
假设使

AP

•

PB

=1成立的直线l存在．
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|

OA

|=1．
得

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1．①…（4分）
∴

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1
∴

OA

•

OB

=(

OP

+

PA

)•(

OP

+

PB

)…（5分）
=

OP2

+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

=1+0+0-1=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0．…（6分）
将y=kx+m代入方程y²=4x，
得k²x²+（2km-4）x+m²=0．…（7分）
∵l与C有两个交点，
∴k≠0，x1+x2=

4-2km

k2

，x1x2=

m2

k2

．②
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km （x₁+x₂）+m²=0．③…（8分）
将②代入③得(1+k2)•

m2

k2

+km•

4-2km

k2

+m2=0．
化简，得m²+4km=0．…（9分）
∵|

OP

|=1，
∴m≠0  ①∴m+4k=0   ④
由①、④得

k= 1 15 m= 4 15

，或

k= 1 15 m=- 4 15

，…（10分）
得存在两条直线l满足条件，其方程为：y=

15

15

x-

4 15

15

，y=

15

15

x+

4 15

15

．
②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，2），B（1，-2）．
∴

AP

=(0，-2)，

PB

=(0，-2)，
∴

AP

•

PB

=4≠1，
不合题意．
综上，符合题意的直线l有两条：y=

15

15

x-

4 15

15

+y=-

15

15

x+

4 15

15

．…（12分）
注：第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m，联立y²=4x建立y的一元二次方程更简单，且不需讨论．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答解题时要注意合理地进行等价转化．