Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，若（A∪B）∩C有两个元素，则a所有取值的集合为

 

．

Answer 1

分析：由题意知集合A，B，C为点集，（A∪B）∩C表示两直线与圆的交点，因为（A∪B）∩C有两个元素，利用此条件进行求解．

解答：解：∵集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，
∴集合A，B表示直线，C表示单位圆，
∴A∪B表示两条直线上的点，
∴（A∪B）∩C表示两条直线与圆的交点，
∴

ax+y=1 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

，

x= 2a 1+a2 y=1- 2a2 1+a2

，
或

x+ay=1 x2+y2=1

解得

x=1 y=0

，

x= 1-a2 1+a2 y= 2a 1+a2

，
又∵（A∪B）∩C有两个元素，
∴两直线只能垂直，
∴a=0，故答案为0．

点评：此题考查圆的性质及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．