Question

记数列{a_n}的前n项和为为S_n，且S_n+a_n+n=0（n∈N*）恒成立．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列．
（2）已知2是函数f（x）=x²+ax-1的零点，若关于x的不等式f（x）≥a_n对任意n∈N﹡在x∈（-∞，λ]上恒成立，求实常数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）n≥2时，由S_n+a_n+n=0，S_n-1+a_n-1+n-1=0，两式相减可得2a_n=a_n-1-1，变形为2（a_n+1）=a_n-1+1，即可证明；
（2）由（Ⅰ）可得，an+1=(

1

2

)n，利用f（2）=0，可得a=-

3

2

，因此f(x)=x2-

3

2

x-1．关于x的不等式f（x）≥a_n对任意n∈N﹡在x∈（-∞，λ]上恒成立?x2-

3

2

x≥(

1

2n

)max=

1

2

在（-∞，λ]上恒成立，解出即可．

解答：（1）证明：n≥2时，∵S_n+a_n+n=0，∴S_n-1+a_n-1+n-1=0，
两式相减可得，2a_n=a_n-1-1，∴2（a_n+1）=a_n-1+1，
∵S₁+a₁+1=2a₁+1=0，∴a1=-

1

2

，∴a1+1=

1

2

，
∴{a_n+1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可得，an+1=(

1

2

)n，
∵f（2）=0，
∴a=-

3

2

，
∴f(x)=x2-

3

2

x-1，
∵f（x）≥a_n，
∴x2-

3

2

x-1≥an，
∴x2-

3

2

x≥an+1=

1

2n

，
∵关于x的不等式f（x）≥a_n对任意n∈N﹡在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∴x2-

3

2

x≥(

1

2n

)max=

1

2

在（-∞，λ]上恒成立，
由x2-

3

2

x≥

1

2

，即2x²-3x-1≥0，
解得x≤

3- 17

4

或x≥

3+ 17

4

，
∴λ≤

3- 17

4

，即所求λ的取值范围(-∞，

3- 17

4

]．

点评：本题考查了通过变形转化为等比数列的数列的通项公式的求法、恒成立问题的等价转化、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．