Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1），函数f（x）=2（

a

+

b

）•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2

2

，c=1，f（A）=

5

2

．求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积公式求出函数f（x）的表达式，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理求出a的大小，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2(sinx+cosx，-

1

4

)•(cosx，-1)=2sinxcosx+2cos2x+

1

2

=sin2x+1+cos2x+

1

2

=

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

，
∴函数的周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

，又f(A)=

5

2

∴

2

sin(2A+

π

4

)+

3

2

=

5

2

sin(2A+

π

4

)=

2

2

又∵A是△ABC的内角，
∴2A+

π

4

=

3π

4

⇒A=

π

4

，
由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=8+1-4

2

×

2

2

=5⇒a=

5

，
由正弦定理

a

sinA

=2R⇒R=

a

2sinA

=

5

2

=

10

2

．

点评：本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题．