Question

某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x²+4x+8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y＝x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2»0.69，ln10»2.3)

Answer 1

(1) 该函数模型不符合该单位报销方案(2)

解析试题分析：(1)函数y=0.05(x²+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，  
当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. 
但当x=3时,y=<,即y³不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案.               
(2)对于函数模型y=x-2lnx+a，设f(x)= x-2lnx+a，则f ´(x)=1-=³0.
所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a³，即a³2lnx-在xÎ[2，10]上恒成立，
令g(x)=2lnx-，则g´(x)=- =，由g´(x)>0得x<4，
\g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
\a³g(4)=2ln4-2=4ln2-2.                           
由条件③，得f(10)=10-2ln10+a£8，解得a£2ln10-2.
另一方面，由x-2lnx+a£x，得a£2lnx在xÎ[2，10]上恒成立,
\a£2ln2,
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1.                
考点：函数单调性及最值
点评：求解本题先要正确理解已知中给定的各个条件，把握其实际为不等式恒成立问题，进而转化为求函数最值