Question

11．求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+6}{x+1}$（x＞-1）的最小值．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+6}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-4（x+1）+9}{x+1}$=x+1+$\frac{9}{x+1}$-4，从而利用基本不等式求最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+6}{x+1}$
=$\frac{（x+1）^{2}-4（x+1）+9}{x+1}$
=x+1+$\frac{9}{x+1}$-4，
∵x＞-1，∴x+1＞0，
∴x+1+$\frac{9}{x+1}$-4≥2$\sqrt{9}$-4=2，
（当且仅当x=2时，等号成立）；
故函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+6}{x+1}$（x＞-1）的最小值为2．

点评 本题考查了函数的最值及基本不等式的应用，属于中档题．