Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=4x的准线l与x轴的交点为M．过抛物线上一点P作准线l的垂线PN，垂足为N，若|PM|、|PO|、|PN|依次成等比数列，则|PM|-|PN|的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用等比数列的性质，结合平行四边形的对角线的平方和=四条边的平方的和，即可得出结论．

解答 解：设P（x，y），则设|PM|=a、|PO|=b、|PN|=c，（a＞c）
∵|PM|、|PO|、|PN|依次成等比数列，
∴b²=ac，
∵平行四边形的对角线的平方和=四条边的平方的和，
∴4b²+4=2（a²+c²），
∴4ac+4=2（a²+c²），
∴（a-c）²=2，
∴a-c=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等比数列的性质，平行四边形的对角线的平方和=四条边的平方的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．