Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（3cosα，3sinα），向量$\overrightarrow{b}$=（4cosβ，4sinβ），|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$，求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ以及（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值．

Answer 1

分析 首先求出两个向量的模以及数量积，通过|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$两边平方，求出数量积，利用数量积公式求夹角以及（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值．

解答 解：因为$\overrightarrow{a}$=（3cosα，3sinα），向量$\overrightarrow{b}$=（4cosβ，4sinβ），
所以|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12sin（α+β），
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=28，
即36+16+48sin（α+β）=28，所以sin（α+β）=-$\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值为cosθ=$-\frac{1}{2}$，θ=120°；
（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}$-10$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=54-64+60=50．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式求平面向量的夹角以及平面向量的运算，关键是熟练运用公式．