Question

7．已知f（x）是定义在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的奇函数，其导函数为f′（x），当x$∈（0，\frac{π}{2}）$时，f′（x）tanx-$\frac{f（x）}{co{s}^{2}x}$＞0，且f（$\frac{π}{4}$）=0，则使不等式f（x）$＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$tanx成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$）
• B． （-$\frac{π}{6}，0$）∪（0，$\frac{π}{6}$）
• C． （-$\frac{π}{6}，0$）∪（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$）
• D． （-$\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}$）∪（0，$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 构造新函数g（x），通过求导结合函数的奇偶性得到函数在定义域上的单调性，从而求出x的范围．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{tanx}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）tanx-\frac{f（x）}{{cos}^{2}x}}{{tan}^{2}x}$，
而当x$∈（0，\frac{π}{2}）$时，f′（x）tanx-$\frac{f（x）}{co{s}^{2}x}$＞0，tan²x＞0，
∴当x$∈（0，\frac{π}{2}）$时，g′（x）＞0，g（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$时递增；
∵f（x）是定义在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的奇函数，
∴g（x）是定义在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的偶函数，
∴g（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）是递减，
不等式f（x）$＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$tanx成立，
即$\frac{f（x）}{tanx}$＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{tan\frac{π}{6}}$=$\frac{f（-\frac{π}{6}）}{tan（-\frac{π}{6}）}$，
∴0＜x＜$\frac{π}{6}$或-$\frac{π}{6}$＜x＜0，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，三角函数问题，构造出函数g（x）=$\frac{f（x）}{tanx}$是解题的关键，本题是一道中档题．