Question

15．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$∈{x|x≤2+$\sqrt{3}$}；
（2）3∉{x|x=n²+1，n∈N}；
（3）x=$\frac{1}{3-5\sqrt{2}}$，y=3+$\sqrt{2}$π，M={m|m=a+b$\sqrt{2}$，a∈Q，b∈Q}，则x∈M，y∉M．

Answer 1

分析 （1）通过比较$（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}$与$（2+\sqrt{3}）^{2}$大小关系，从而可得出$\sqrt{2}+\sqrt{5}＜2+\sqrt{3}$，从而得出$\sqrt{2}+\sqrt{5}∈\{x|x≤2+\sqrt{3}\}$；
（2）只需令3=n²+1，解出的n是否是自然数即可；
（3）将x，y都写成$m=a+b\sqrt{2}$的形式，然后判断是否满足a∈Q，b∈Q即可；

解答 解：（1）$（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}=7+2\sqrt{10}$，$（2+\sqrt{3}）^{2}=7+4\sqrt{3}$；
$2\sqrt{10}＜4\sqrt{3}$；
∴$（\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}＜（2+\sqrt{3}）^{2}$；
∴$\sqrt{2}+\sqrt{5}＜2+\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{2}+\sqrt{5}∈\{x|x≤2+\sqrt{3}\}$；
（2）令n²+1=3，则n²=2；
∵n∈N；
∴3∉{x|x=n²+1，n∈N}；
（3）$x=\frac{3+5\sqrt{2}}{（3-5\sqrt{2}）（3+5\sqrt{2}）}=-\frac{3}{41}-\frac{5}{41}•\sqrt{2}$；
∵$-\frac{3}{41}∈Q，-\frac{5}{41}∈Q$；
∴x∈M；
y=$3+π•\sqrt{2}$，π∉Q；
∴y∉M．
故答案为：∈，∉，∈，∉．

点评 考查要比较两个无理数的大小可通过平方的方法，描述法表示集合的定义，判断元素与集合关系的方法．