Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$，求通项a_n．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$写出数列前几项的值并猜想通项，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$=$\frac{{a}_{n-1}+3-4}{{a}_{n-1}+3}$=1-$\frac{4}{{a}_{n-1}+3}$，
∵a₁=1，
∴a₂=1-$\frac{4}{1+3}$=0，
a₃=1-$\frac{4}{0+3}$=-$\frac{1}{3}$，
a₄=1-$\frac{4}{-\frac{1}{3}+3}$=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{2}{4}$，
a₅=1-$\frac{4}{-\frac{1}{2}+3}$=-$\frac{3}{5}$，
a₆=1-$\frac{4}{-\frac{3}{5}+3}$=-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{6}$，
a₇=1-$\frac{4}{-\frac{2}{3}+3}$=-$\frac{5}{7}$，
猜想：a_n=-$\frac{n-2}{n}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=-$\frac{k-2}{k}$，
则a_k+1=$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k}+3}$=$\frac{-\frac{k-2}{k}-1}{-\frac{k-2}{k}+3}$=-$\frac{（k+1）-2}{k+1}$，
即当n=k+1时也成立；
由①、②可知：a_n=-$\frac{n-2}{n}$．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-$\frac{n-2}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．