Question

（本小题满分14分）

已知函数.

(1)求证：函数在上是单调递增函数；

(2)当时，求函数在上的最值；

(3)函数在上恒有成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) 函数在上是单调递增函数. (2) 的最小值为，此时；无最大值. (3) 的取值范围是. 

【解析】

试题分析：(1)证明函数在上是单调递增函数本质就是证明在上恒成立.

（2）当时,令，然后得到极值点，进而求出极值，再与值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.

(3) 函数在上恒有成立问题应转化为,

然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值，最值即可求出其最小值，问题得解.

(1)（法一：定义法）

任取且,则.                 ········1分

∵，

∴.                                                  ·······3分

∴ 函数在上是单调递增函数.                            ········4分

（法二：导数法）

当，

∴ 函数在上是单调递增函数.                            ········4分

(2) 当时，；

由（1）知函数在上是单调递增函数.                       ·······5分

∴，即                               ·······7分

∴ 的最小值为，此时；无最大值.                        ·······8分

(3) 依题意， ，即在上恒成立.

∵函数在上单调递减，∴                   ······11分

∴ ，

又.  ∴

故的取值范围是.                                            ·······14分

考点：导数在研究函数单调性，极值，最值当中的应用.

点评：（1）连续可导函数在某个区间I上单调递增（减）等价于在区间I上恒成立.

（2）在求某个区间上的最值时，应先求出极值，然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.

（3）不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.