Question

已知点M（

5

，

4

3

）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，过点M作x轴的垂线，垂足恰好为椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E（4，0）的直线l与圆x²+y²=4相切，且与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知得c=

5

，将点M（

5

，

4

3

）代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1；及a，b，c三者关系式得方程组，求出a，b得到方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，由已知得

|4k|

1+k2

=2求出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立求出交点坐标，由|AB|=

1+k2

|x1-x2|求得．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=

5

，

5 a2 + 16 9b2 =1 a2-b2=5

解得

a2=9 b2=4

∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1
（Ⅱ）以题意可知直线的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
由

|4k|

1+k2

=2
得k2=

1

3

即k=±

3

3

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y= 3 3 (x-4) x2 9 + y2 4 =1

消去y得7x²-24x+12=0
解得x1=

12-2 15

7

，x2=

12+2 15

7

又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 3

×

4 15

7

∴|AB|=

8 5

7

点评：本题考查椭圆中三个参数a，b，c的关系，直线与圆相切的充要条件及直线与椭圆相交的弦长的求法，属于中档题．