【题目】在如图所示的几何体中，四边形
为平行四边形， 
平面
，且
是
的中点.
（1）求证： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角
的大小.
解析：
（1）解法一：取
的中点
，连接
.
在
中， 
是
的中点， 
是
的中点，
所以
，又因为
，
所以
且
.
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
平面
，故
平面
.
解法二：因为
平面
，
故以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由已知可得
，
设平面
的一个法向量是
.
由
得
令
，则
.
又因为
，所以
，又
平面
，
故
平面
.
（2）由（1）可知平面
的一个法向量是
.
易得平面
的一个法向量是
所以
，又二面角
为锐角，
故二面角
的余弦值大小为
.
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【题目】某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5) (注：收益＝销售额－投放)．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－
x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．
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【题目】高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为
、
、
，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
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【题目】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
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【题目】下列说法中正确的个数是( )
(1) 已知
，
，
，则
(2)将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．
(3) 
被
除后的余数为
．
(4) 若
，则
＝
(5)抛掷两个骰子，取其中一个的点数为点
的横坐标，另一个的点数为点的纵坐标，连续抛掷这两个骰子三次，点在圆
内的次数
的均值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】已知定义在
上的函数
和数列
满足下列条件：
，
，当
且
时，
且
，其中
、
均为非零常数．
（1）若是等差数列，求实数的值；
（2）令
（），若
，求数列
的通项公式；
（3）令（），若
，数列
满足
，若数列有最大值
，最小值
，且
，求的取值范围．
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 若命题
都是真命题,则命题“
”为真命题
B. 命题“
”的否定是“
,
”
C. 命题:“若
,则
或
”的否命题为“若
,则
或
”
D. “
”是“
”的必要不充分条件
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【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．
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