Question

【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当且时，且，其中、均为非零常数．

（1）若是等差数列，求实数的值；

（2）令（），若，求数列的通项公式；

（3）令（），若，数列满足，若数列有最大值，最小值，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据题意，利用等差数列的定义，求得结果；

（2）根据题意，证得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求得结果；

（3）利用累加法求得的通项公式，结合题意，找到数列的最大项和最小项，解不等式求得结果.

（1）由已知， ，

，

由数列是等差数列，得，

又，所以；

（2）由，可得，

当时，，

所以当时，，

且，

所以，数列是首项为1，共比为的等比数列，

所以；

（3）由（2）可得是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以， ，

，，，

累加得：

，

所以，当时也满足，

所以

若存在最大值，结合的条件，则，

所以是最大项，是最小项，

所以，

由得，解得，

所以的取值范围为.